Exponentielles Wachstum
Das lernst du
- Ich unterscheide lineares und exponentielles Wachstum.
- Ich berechne mit dem Wachstumsfaktor.
- Ich stelle Wachstum in Tabellen und Graphen dar.
- Ich berechne Zinseszins.
- Ich beschreibe Zerfall (Halbwertszeit, Wertverlust).
- Ich modelliere Wachstum aus Daten.
- Ich vergleiche Angebote (Sparplan, Kredit).
- Ich bereite die Abschlussprüfung vor.
Merksätze
Linear: pro Schritt kommt dieselbe Zahl dazu (+ 50).
Exponentiell: pro Schritt derselbe Faktor (· 1,5).
q = 1 + p/100. 3 % Wachstum → q = 1,03. Nach n Schritten: Endwert = Startwert · qⁿ.
Tabelle: jede Zeile mal q. Graph: eine gebogene Kurve, keine Gerade.
Bei q > 1 immer steiler, bei q < 1 immer flacher.
Kₙ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ – die Zinsen werden mitverzinst.
Der Unterschied zur einfachen Verzinsung wächst jedes Jahr.
Bei Abnahme ist der Faktor kleiner als eins: q = 1 − p/100. Zwanzig Prozent Verlust heißt q = 0,8. Die Halbwertszeit ist die Zeit, bis nur noch die Hälfte da ist.
Faktor q = späterer Wert : früherer Wert.
Ist der Faktor zwischen den Schritten etwa gleich, passt exponentielles Wachstum.
Gleiche Laufzeit, gleiche Startsumme, dann Endwerte mit qⁿ berechnen.
Kleine Zinsunterschiede werden über Jahre groß.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- Wachstumsfaktor q = 1 + p/100 – „plus für mehr, minus für weniger“: 3 % Zuwachs → ·1,03, 3 % Abnahme → ·0,97
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Eine Bakterienkultur mit 100 Zellen wächst um 5 % pro Stunde. Berechne, wie viele Zellen es nach 4 Stunden sind.
- Wachstumsfaktor q = 1 + 5100 = 1,05
- B(t) = 100 · 1,054
- ≈ 122
Ergebnis: ≈ 122 Zellen
Wächst die Größe in der Tabelle linear oder exponentiell? Begründe mit Differenzen oder Quotienten und gib den nächsten Wert an.
- Differenzen: 9, 18, 36.
- Quotienten: 2, 2, 2.
- Die Quotienten sind gleich: exponentiell, Faktor 2.
- Nächster Wert: 144.
Ergebnis: exponentiell, Faktor 2; nächster Wert 144
Eine Bakterienkultur mit 100 Zellen wächst um 5 % pro Stunde. Berechne, wie viele Zellen es nach 4 Stunden sind. Rechne, dann setze dein Ergebnis auf den nächsten Strich des Strahls von 0 Zellen bis 200 Zellen.
- Wachstumsfaktor q = 1 + 5100 = 1,05
- B(t) = 100 · 1,054
- ≈ 122
- Ein Strich ist 20 Zellen, dein Ergebnis liegt nahe beim 6. Strich von links
Ergebnis: ≈ 122 Zellen
Eine Größe nimmt jedes Jahr um 2 % ab. Wie heißt der Wachstumsfaktor? Was wird in einem Jahr aus 2000?
- Neuer Wert: 100 % − 2 % = 98 % des alten Werts.
- 98 % als Dezimalzahl: 0,98. Das ist der Wachstumsfaktor.
- 2000 · 0,98 = 1960
Ergebnis: q = 0,98, nach einem Jahr 1960
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
1.000 € zu 3 %, 2 Jahre: 1.000 + 30 + 30 = 1.060 €
1.000 € zu 3 %, 2 Jahre: 1.000 · 1,03 = 1.030, dann 1.030 · 1,03 = 1.060,90 €
Jedes Jahr auf das neue Kapital rechnen: mal q, nicht plus Zinsen.
Wo brauchst du das?
Zinseszins, Viren-Ausbreitung, Follower-Wachstum. Beruf: Medizin, Finanzen, Ökologie, Datenanalyse.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Funktionen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Graph mit Reglern zeichnen (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
Zum Ausdrucken: Drucken-Befehl des Browsers – die Seite ist dafür gebaut. Üben geht am Handy über den Code deiner Klasse, nicht hier.